Réviser ses maths

https://scienceetonnante.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
Ou comment comprendre les limites.

J'adore ce genre de truc (et Science étonnante aussi, mais ça fait longtemps déjà).

Merci Opossum.

Des maths expliquées comme cela, je me sens presque capable d'aller un peu plus loin.

Ces séries, je les aie vus en classe, mais jamais nous n'avons abordé ces limites des propriétés de l'addition, qui sont donc fondamentales.

J'ai l'impression d'avoir fait des maths, sans jamais vraiment rien y comprendre.

Sauf que ... dès la troisième ligne (A = 1-A, on peut déduire que A=1/2) c'est irrecevable et donc on cesse la lecture.

C'est une astuce bien connue.
Dès le premier instant, on peut démontrer de manière élémentaire et irréfutable que la série A ne converge pas.
Or, l'instant suivant, on fait semblant de démontrer que A = 1/2
Ce qui ne se peut évidemment pas puisque PAR DÉFINITION  de la convergence, si une série ne converge pas alors sa somme ne peut pas avoir une valeur finie (elle peut valoir l'infini ou aucune valeur, elle n'existe alors pas, c'est le cas ici).

Tiré d'un cours de prépa http://c.caignaert.free.fr/ :

1.3.  Condition nécessaire élémentaire de convergence
Théorème : ∑ un converge ⇒ lim n→∞ un= 0.

Démonstration :
∑ un converge ⇒ (sn) converge vers s ⇒ (sn+1) converge vers s ⇒ lim n→∞ sn+1−sn= 0  
⇒ lim n→∞ un+1= 0 ⇒ lim n→∞ un= 0.

Si une série converge, son terme général tend vers 0.
Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (c'est la contraposée du théorème)

Écrire A= 1/2 est une sottise car le terme général de la série ne tend pas vers 0 (il alterne entre -1 et +1 mais ne vaut JAMAIS 0) et donc la série ne converge pas et ne peut avoir une valeur définie.

Beaucoup de bruit pour rien !

Dit autrement conclure que A=1/2 de "l'équation" A = 1 - A est une sottise puisque A n'existe pas !

C'est là où effectivement, je n'ai "jamais compris" les maths.
Car toutes les explications que j'en ai reçue ont été du même ordre que la tienne.

La définition de la série est une somme infinie de termes.
L'opération qui est réalisée est aussi une addition. Le résultat de celle-ci est une aberration, qui ne s'explique, non pas par la définition de la série ou une quelconque propriété de son terme, qui est toute innocente, mais bien de l'application d'une opération arithmétique sur un objet qui ne lui est pas approprié.
Dans le cas de l'explication donnée en cours, il faut donc accepter que toutes les séries dont le terme ne tend pas vers 0 divergent.
La démonstration doit bien se trouver qlqe part, mais quid de sa validité si elle se base sur cette même définition ?

Par flemme, je ne t'ai pas donné les définitions préalables.

On ne peut pas avoir à "comprendre" une définition ... Tu tentes d'utiliser ton intuition à mauvais escient ! Il n'y a pas à "discuter" une définition, c'est seulement une convention sur laquelle on s'est mis d'accord.
Une définition n'est pas négociable, c'est juste "à partir de maintenant" on dit que ce truc que je décris se nomme comme ça. On montre un objet et on le nomme. Ce truc devant toi on le nomme stylo. Bien entendu on aurait pu le nommer autrement (ça c'est facile t'as qu'à penser à sa traduction dans une autre langue). Et bien entendu, on aurait pu parler d'un autre objet, mais alors ... ce n'est plus le même ! Si tu ne mets pas le même objet que les mathématiciens en face du mot "série" ou "converger pour une série" évidemment ça va pas être facile de s'entendre !

C'est sans doute là que se situe ton "incompréhension". Tu utilises des concepts flous, intuitifs pour parler d'objets qui ont un absolu besoin d'être définis avec une très grande rigueur et un formalisme rigoureux. Faute de quoi toute la suite (!) sera merdique. Tes concepts de ce qu'est une série et sa convergence sont "mous" et donc susceptibles d'être tordus par des raisonnements qui te sembleront corrects (et peut être ils peuvent l'être) mais qui sont abscons puisqu'ils parlent d'un objet mal défini.

On suppose connue la notion de suite. C'est le chapitre précédent. Et bien entendu, on ne peut pas étudier ce chapitre si on n'a pas quelques notions élémentaires mais solides : définitions de ce qu'est une "suite" et ce que veut dire le mot "converger" pour une suite.
C'est un pré-requis non négociable. Avant d'apprendre à courir on apprend à marcher, la course est une étape supplémentaire qui ne peut pas se dispenser de la précédente.

Maintenant que c'est fait, on définit dans un premier temps un objet qui est une suite particulière et on lui donne un nom "Suite des sommes partielles". Elle n'est pas différente en nature des suites qu'on sait manipuler puisqu'on les a étudiées dans le "chapitre" précédent. On sait l'étudier.
On sait ce que veut dire "converger pour une suite" puisqu'on l'a défini dans le "chapitre" précédent.

On définit maintenant ce que veut dire le mot "converger pour une série (et non pas plus pour une suite). Et on le fait en référence à la convergence d'une suite particulière qu'on sait manipuler puisqu'on a fait le chapitre précédent : une certaine série converge si et slt une certaine suite particulière qui va bien converge. Et c'est terminé, c'est la seule définition qui vaille désormais et tu dois t'en contenter, sinon c'est la merde, toi et moi ne parlerons pas de la même chose.




À présent, qu'on est d'accord, on avance. On essaie de voir ce qui se passe.
Le premier (!) théorème du cours arrive. C'est te dire que la transgression du mec est ridiculement grotesque, à tel point que je n'ai même pas lu la suite ! Le mec il part de "la terre est plate" et donc blablabla. Pas la peine d'écouter !

Ce théorème dit "une série converge seulement si son terme général tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini" (sinon elle diverge, ie ne converge pas).
Ce théorème on le démontre, c'est assez élémentaire. Donc on sait qu'il est vrai pour toutes les séries du monde même les plus bizarres (et d'une certaine façon celle-ci l'est).

La démonstration est ici, elle est implacable et proche de l'évidence mais si tu veux vraiment je te l'explique ... suffit de demander.



Ensuite arrive l'arnaque du mec.

Il donne une série nommé A.
Ici y'a d'ailleurs, une immense ambiguïté volontaire, il confond la limite de la série (sa valeur de convergence lorsque n tend vers l'infini) et la valeur de la série au rang n.

Et il prononce la perle "cette somme n’a pas de valeur bien définie. Essayons quand même de lui en donner une."
Ce qui revient à dire "Ce truc qui n'existe pas, parlons de lui ...". Du coup on n'est pas emmerdé, on peut dire n'importe quoi !
Fastoche :
"Si les licornes existent alors blablabla". Et on ne peut JAMAIS démontrer que blablabala est faux si on suppose que les licornes existent.
Sauf que ... les licorne n'existent pas et que je le DÉMONTRE et non pas l'affirme

Le théorème précédent s'applique à la série A comme à n'importe quelle série, elle n'est en rien une "exception".
On regarde le terme général de la série : c'est (-1)^n (le "^" veut dire "à la puissance").
On ne sait pas très bien si l'infini est pair ou impair (c'est une blagounette hein !).
Lorsque n tend vers l'infini,  et on ne sait donc pas si (-1)^n tend vers 1 ou vers -1. MAIS ce qui est CERTAIN c'est que (-1)^n ne tend pas vers 0.
Or, en vertu du théorème précédent, une série diverge si son terme général ne tend pas vers 0. Celle-ci ne fait pas exception, donc elle diverge.
Parler de sa valeur de convergence n'a pas de sens, c'est implacable.
Écrire A=1/2 est donc une imbécilité à partir de laquelle tout est possible (licorne)

Ce qui est amusant, c'est que je ne vois rien à "comprendre" tant la démarche me semble naturelle, simple, limpide !
Faut juste accepter ce que sont les maths. Et bien entendu si tu le refuses tu auras des difficultés à en faire.
Si tu n'accepte pas qu'au Pôle Nord il fasse froid, que "c'est comme ça", faut pas y aller  .
Et si tu y vas malgré tout, il ne faut pas être étonné d'éprouver une drôle de sensation que tu ne comprends pas !

J'espère, au delà de cette petite anecdote insignifiante, t'avoir aidé à mieux percevoir pourquoi "tu n'as jamais compris les maths". Ce que tu fais avec ton esprit c'est ... autre chose. Et tu compares le résultat de deux activités qui n'ont rien à voir ! Pas étonnant qu'il y ait divergence (!).

J'ai toujours trouvé scandaleux que les Arabes tournent les pages à l'envers mais ne lisent pas les lignes du bas vers le haut.
Si on fait tout de travers, faut tout de même s'appliquer un peu non ?

Confiteor, tu aurais dû continuer ta lecture, parce qu'il explique justement tout ce que tu viens de rappeler, et va plus loin, en rappelant qu'il n'y a pas qu'une seule notion de convergence pour les séries. Tu parles de la convergence au sens de la convergence des sommes partielles, qui est la plus naturelle et la première que l'on apprend (elle fait suite comme tu le dis très bien aux notions apprises pour les suites). Il y en a d'autres qui ont leurs utilités dans d'autres cas, je cite juste un paragraphe mais je conseille vraiment d'aller lire le tout pour celles et ceux qui aiment les maths :

La méthode de Cesaro

Une de ces méthodes, c’est la méthode dite de Cesaro. Au lieu de prendre la limite de la suite des sommes partielles, on prend la limite de la moyenne des sommes partielles [...]

Ces définitions de la convergence généralisent la définition de base càd que toute série convergente au sens des sommes partielles est convergente dans toutes les autres définitions avec la même limite. Mais une série divergente dans la définition "de base" peut se voir attribuer une limite dans les définitions "généralisées", et ça a même un intérêt (assez mystérieux pour moi) dans certains domaines de la physique.

Je conseille à tous de regarder la bio du "mec" et surtout son incroyable travail de vulgarisation sur ce blog et youtube.

Je fais un blocage.
Comment peut-on définir une série comme une suite de sommes partielles, c'est à dire des nombres, leur appliquer une opération qui somme toute est hyper connu et se retrouver à la fin avec un nombre lorsqu'elle converge, en passant par l'infini.  
La valeur de la série est donc un nombre, qui est passé par qlque chose qui ne se manipule pas comme un nombre, mais en est composé.
Et ce qlque chose se nomme série.  
C'est la propriété de soit la série, soit l'addition (après, je ne suis pas mathématicienne), qui rend nécessaire le fait que cette écriture, correcte, n'est pas correcte au final.
A = 1-1+1-1+1-1+1-1+1....
  = 1-(1-1+1-1+1-1+1- ...)
  = 1 - A

Car A, qui est une série, ne peut être traitée comme une simple addition de termes.  
(et puis, A, ça existe, c'est même défini mathématiquement, avec une jolie notation math)

Ben ça, on me l'avait jamais dit comme cela.
Et c'est bien plus acceptable pour mon côté intuitifs que des démonstrations sur le caractère convergent du terme, qui n'est jamais qu'une particularité d'un type de série.
(enfin, je crois)


Bref, après cette explication, le nombre serait pour moi au point ce que la série est à la ligne. Qlqche du genre.

le nombre serait à la série ce que le point est à la ligne plutôt, non..?

*Sham a écrit: le nombre serait à la série ce que le point est à la ligne plutôt, non..?

Et en plus je suis nulle en français.....
Merci *Sham

Arf... j'peux faire ma maligne, j'ai rien compris aux posts d'avant !

@Ardel, je reconnais mon erreur !

Je lis la phrase sans smiley "cette somme n’a pas de valeur bien définie. Essayons quand même de lui en donner une" sur Internet, je passe mon chemin.
Le plus souvent j'ai raison, ici j'ai très tort ! Le con salaud, il aurait pu prévenir ...

Je lirai ce qui suit demain et j'exprimerai alors un avis révisé. Flemme ce soir.
Ceci dit, je ne retire pas un mot du précédent et il ne fait aucun doute que tu approuves en contexte tant c'est élémentaire.

Et, sans que ce soit une excuse, je n'ai pas fait de maths depuis ... la prépa avec une brève reprise en L2 durant un an en 2010. J'avais oublié cette histoire de somme de Cesaro que j'ai assurément vu passer un jour.

Merci de m'avoir prévenu avec délicatesse.

@Opposum, tu vois que tout ceci est la conséquence d'une définition. Si un mot désigne deux objets distincts, l'employer sans préciser est source de confusion, ici, c'était une blague, un piège dans lequel je suis tombé. Ironie de l'histoire c'est exactement ce contre quoi je te mettais en garde.
Sauf que là, c'était délibéré, le mec présupposait qu'on lirait la suite et il est délibérément avancé masqué afin de créer un effet de surprise et de faire un gag. Je n'ai pas vu le masque, trop d'implicites. Comme je suis fatigué de lire des sornettes qui m'agacent j'ai zappé la suite.
Biais cognitif d'économie. Ça semble con, on cesse, parce ce que très souvent (hélas !) ça l'est
À mon âge, le temps est compté, je n'envisage pas de le corriger !

Pas de souci.  
Tu me diras si ma comparaison, après correction par *Sham, te semble correcte ?

@*Sham,

*Sham a écrit:Arf... j'peux faire ma maligne, j'ai rien compris aux posts d'avant !

Le truc c'est dès que l'infini arrive dans l'histoire, ça fout le boxon.

Il me semble que ton erreur consiste à considérer qu'on peut faire des opérations élementaires avec des infinis en traitant :
- soit l'infini comme un nombre "ordinaire"
- soit une somme d'un nombre infini de termes (éventuellement infiniment petits) comme s'il s'agissait d'une opération "ordinaire".

On n'a pas le droit, ça "marche" pas comme ça !

exemple élémentaire : on regarde ce que devient (3n+1)/(2n) lorsque n tend vers l'infini.

- première idée FAUSSE :
2n + 1 tend vers l'infini et 2n aussi lorsque n tend vers l'infini.
La fraction devient donc infini/infini on peut simplifier (comme dans 4/4) et ça vaut 1

- seconde idée JUSTE :
(3n+1)/(2n)=(3n)/(2n) + 1/(2n) = 3/2 +1/(2n)
Lorsque n tend vers l'infini 1/(2n) tend vers 0
Et donc à la limite (3n+1)/(2n) tend vers 3/2 lorsque n tend vers l'infini

Pareil pour 0 x infini ou 0/0 etc. rien n'est intuitif, faut se les gratter à la main.



Le zéro et l'infini sont des nombres étranges (hum ... dirait Fred).

Hahaha ! J'ai enfin lu la suite (brillant est le mot) ... Ce mec est un farceur dans son introduction, ce n'est pas charitable avec les personnes pressées ou négligentes.

Je suis vaincu, humilié ... mais je vais m'en remettre.